லாப்லேஸ் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் என்றால் என்ன? ஃபார்முலா, பண்புகள், நிபந்தனைகள் மற்றும் பயன்பாடுகள்

நடத்தை மற்றும் செயல்பாட்டைப் புரிந்து கொள்ள கணிதம் ஒரு தீர்க்கமான பாத்திரத்தை வகிக்கிறது மின் மற்றும் மின்னணு அமைப்புகள் . பல்லுறுப்புக்கோவைகள், இயற்கணிதம், நிகழ்தகவு, ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் வேறுபாடுகள் போன்றவை… அமைப்புகளைத் தீர்க்கப் பயன்படுத்தப்படும் கருவிகளில் குறிப்பிடத்தக்க பகுதியை உருவாக்குகின்றன. அமைப்புகளின் அதிகரித்துவரும் சிக்கலுடன், மிகவும் அதிநவீன முறைகள் தேவைப்படுகின்றன. கட்டுப்பாட்டு அமைப்புகளை வரையறுக்க வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் முக்கியமாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த சமன்பாடுகள் தீர்க்க எளிதானவை. ஆனால் உயர் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளை தீர்க்கும்போது சிக்கலானது எழுகிறது. இத்தகைய சிக்கலான உயர் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகளை தீர்க்க, பயனுள்ளதாக நிரூபிக்கப்பட்ட கணித முறை லாப்லேஸ் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் . இந்த மாற்றம் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுவதால், அவை உண்மையில் எதைக் குறிக்கின்றன, அவை எவ்வாறு செயல்படுகின்றன என்பதை அறிந்து கொள்வது பயனுள்ளது.

லாப்லேஸ் மாற்றம் என்றால் என்ன?

கணிதத்தில், சமன்பாட்டைக் கையாள எளிதாக்குவதற்கு ஒரு வடிவத்திலிருந்து இன்னொரு வடிவத்திற்கு மாறுவதற்கு உருமாற்றங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. லாப்லேஸ் உருமாறும் அதே காரியத்தைச் செய்கிறது. அவை உயர் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டை ஒரு பல்லுறுப்பு வடிவமாக மாற்றுகின்றன, இது வேறுபட்ட சமன்பாட்டை நேரடியாக தீர்ப்பதை விட மிகவும் எளிதானது.

ஆனால் ஃபோரியர் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் போன்ற பல்வேறு உருமாற்றங்கள் உள்ளன, z உருமாற்றம் செய்வது லாப்லேஸை மாற்றியமைப்பது சிறப்பானதா? லாப்லேஸ் உருமாற்றத்தின் முக்கிய நன்மை என்னவென்றால், அவை நிலையான மற்றும் நிலையற்ற அமைப்புகளுக்கு வரையறுக்கப்படுகின்றன, அதேசமயம் ஃபோரியர் உருமாற்றங்கள் நிலையான அமைப்புகளுக்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகின்றன.

லாப்லேஸ் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் ஃபார்முலா

ஒரு நேர டொமைனில் எஃப் (டி) செயல்பாட்டின் லேப்ளேஸ் மாற்றம், அங்கு t என்பது பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும் உண்மையான எண், எஃப் (கள்) என வழங்கப்படுகிறது, அங்கு s என்பது அதிர்வெண் களத்தில் உள்ள சிக்கலான எண் .i.e. s = σ + jω
மேற்கண்ட சமன்பாடு இவ்வாறு கருதப்படுகிறது ஒருதலைப்பட்சமாக லாப்லேஸ் உருமாற்ற சமன்பாடு . வரம்புகள் முழு உண்மையான அச்சிற்கும் நீட்டிக்கப்படும்போது இருதரப்பு லாப்லேஸ் மாற்றம் என வரையறுக்கலாம்
போன்ற நடைமுறை சுற்றுகளில் ஆர்.சி மற்றும் ஆர்.எல் சுற்றுகள் வழக்கமாக, ஆரம்ப நிலைமைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, பகுப்பாய்வு நோக்கத்திற்காக ஒரு பக்க லேப்ளேஸ் மாற்றங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
S = σ + jω என, σ = 0 லேப்ளேஸ் உருமாறும் போது ஃபோரியர் உருமாற்றமாக செயல்படுகிறது.

லாப்லேஸ் உருமாற்ற சூத்திரங்கள்

லேப்ளேஸ் உருமாற்றத்தின் பொருந்தக்கூடிய நிபந்தனைகள்

லேப்ளேஸ் உருமாற்றங்கள் ஒருங்கிணைந்த உருமாற்றங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, எனவே இந்த உருமாற்றங்களை ஒன்றிணைக்க தேவையான நிபந்தனைகள் உள்ளன.
அதாவது, இடைவெளி [0, ∞) க்கு உள்நாட்டில் ஒருங்கிணைக்கப்பட வேண்டும் மற்றும் positive நேர்மறை அல்லது எதிர்மறையானதா என்பதைப் பொறுத்து, e ^ (-) t) சிதைந்து போகலாம் அல்லது வளர்ந்து கொண்டிருக்கலாம். ஒரு மதிப்பை விட இருதரப்பு லாப்லேஸ் உருமாற்றங்களுக்கு, ஒருங்கிணைப்பு ஒரு குறிப்பிட்ட அளவிலான மதிப்புகள் மீது ஒன்றிணைகிறது.

லாப்லேஸ் உருமாற்றத்தின் பண்புகள்:

நேரியல்

நேரியல்

நேர மாற்றம்

நேர மாற்றம்

எஸ்-டொமைனில் மாற்றம்

எஸ்-டொமைனில் மாற்றம்

நேரம்-தலைகீழ்

நேரம்-தலைகீழ்

எஸ்-டொமைனில் வேறுபாடு

எஸ்-டொமைனில் வேறுபாடு

நேரத்தில் மாற்றம்

நேரத்தில் மாற்றம்

ஆரம்ப மதிப்பு தேற்றம்

லாப்லேஸில் உருமாறும் போது தொடக்க மதிப்பின் தேற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, கணக்கீட்டின் அளவு வகுப்பின் அளவை விட குறைவாக இருக்கும் இறுதி மதிப்பு தேற்றம்:

எஸ்-விமானத்தின் இறுதி மதிப்பு தேற்றத்தின் இடது பாதியில் எஸ்.எஃப் (கள்) அனைத்து துருவங்களும் இருந்தால்.

தலைகீழ் லேப்ளேஸ் மாற்றம்

குவிதல் சிறப்பியல்பு காரணமாக லாப்லேஸ் உருமாற்றம் ஒரு தலைகீழ் மாற்றத்தையும் கொண்டுள்ளது. லேப்ளேஸ் உருமாற்றங்கள் ஒரு செயல்பாட்டு இடத்திலிருந்து இன்னொரு இடத்திற்கு மேப்பிங்கை வெளிப்படுத்துகின்றன. தலைகீழ் லேப்ளேஸ் உருமாற்றத்திற்கான சூத்திரம்

லாப்லேஸ் உருமாற்றத்தை எவ்வாறு கணக்கிடுவது?

லேப்ளேஸ் உருமாற்றம் சமன்பாடுகளை கையாள எளிதாக்குகிறது. உயர் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு வழங்கப்படும்போது, ​​லாப்லேஸ் உருமாற்றம் அதற்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது சமன்பாட்டை ஒரு இயற்கணித சமன்பாடாக மாற்றுகிறது, இதனால் கையாள எளிதாகிறது. இந்த இயற்கணித சமன்பாட்டை எளிதாக்குவதன் மூலம் வேர்களைக் கணக்கிடுகிறோம். இப்போது எளிமையான வெளிப்பாட்டின் தலைகீழ் லேப்ளேஸ் மாற்றம் காணப்படுகிறது, இது கொடுக்கப்பட்ட உயர் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டை தீர்க்கிறது.

லேப்ளேஸ் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் கணக்கீடு

லாப்லேஸ் உருமாற்றத்தின் பயன்பாடுகள்

• மின் பகுப்பாய்வு மற்றும் மின்னணு சுற்றுகள் .
• சிக்கலான வேறுபாடு சமன்பாடுகளை எளிமையான பல்லுறுப்பு வடிவங்களாக உடைத்தல்.
• லேப்ளேஸ் உருமாற்றம் நிலையான மற்றும் நிலையற்ற நிலைகளைப் பற்றிய தகவல்களைத் தருகிறது.
• இயந்திர கற்றலில், தரவுச் செயலாக்கத்தில் கணிப்புகளைச் செய்வதற்கும் பகுப்பாய்வு செய்வதற்கும் லாப்லேஸ் மாற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
• லேப்ளேஸ் மாற்றம் கணினி மாடலிங் கணக்கீடுகளை எளிதாக்குகிறது.

சிக்னல் செயலாக்கத்தில் லேப்ளேஸ் உருமாற்றத்தின் பயன்பாடு

சமிக்ஞை செயலாக்கத்திற்கு லேப்ளேஸ் மாற்றங்கள் அடிக்கடி தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன. ஃபோரியர் உருமாற்றத்துடன், தி லேப்ளேஸ் உருமாற்றம் அதிர்வெண் களத்தில் சமிக்ஞைகளைப் படிக்க பயன்படுகிறது. அதிர்வெண் களத்தில் சமிக்ஞையில் சிறிய அதிர்வெண்கள் இருக்கும்போது, ​​நேரக் களத்தில் சமிக்ஞை சீராக இருக்கும் என்று ஒருவர் எதிர்பார்க்கலாம். ஒரு சமிக்ஞையை வடிகட்டுவது வழக்கமாக அதிர்வெண் களத்தில் செய்யப்படுகிறது, அதற்காக லாப்லேஸ் ஒரு சமிக்ஞையை நேர களத்திலிருந்து அதிர்வெண் களமாக மாற்றுவதற்கான முக்கியமான கருவியாக செயல்படுகிறது.

கட்டுப்பாட்டு அமைப்புகளில் லேப்ளேஸ் உருமாற்றத்தின் பயன்பாடு

கட்டுப்பாட்டு அமைப்புகள் பொதுவாக பிற சாதனங்களின் நடத்தையை கட்டுப்படுத்த வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன. உதாரணம் கட்டுப்பாட்டு அமைப்புகள் ஒரு எளிய வீட்டு வெப்பக் கட்டுப்படுத்தி முதல் தொழில்துறை கட்டுப்பாட்டு அமைப்பு வரை இயந்திரங்களின் நடத்தையை ஒழுங்குபடுத்துகிறது.

பொதுவாக, கட்டுப்பாட்டு பொறியாளர்கள் பல்வேறு மூடிய வளைய செயல்பாட்டுத் தொகுதிகளின் நடத்தையை விவரிக்க வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்துகின்றனர். முக்கியமான மாறி தகவல்களை இழக்காமல் இந்த சமன்பாடுகளை தீர்க்க லாப்லேஸ் உருமாற்றம் இங்கே பயன்படுத்தப்படுகிறது.

லேப்ளேஸ் உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நேரியல் நேர-மாறாத அமைப்புகளின் தன்மை

கணினியுடன் தொடர்புடைய ஒரு சாதாரண கணினி ROC க்கு, செயல்பாடு சரியான அரை விமானம். T> 0 க்கு அதன் உந்துவிசை பதில் h (t) = 0 என்றால் ஒரு அமைப்பு சாதாரண எதிர்ப்பு ஆகும்.

கணினி செயல்பாடுகளின் ROC H (கள்) jω அச்சை உள்ளடக்கியிருந்தால், L.T.I. கணினி ஒரு நிலையான அமைப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. பகுத்தறிவு அமைப்பு செயல்பாடுகளைக் கொண்ட ஒரு சாதாரண அமைப்பு எச் (கள்) அதன் அனைத்து துருவங்களுக்கும் எதிர்மறையான உண்மையான பகுதிகளைக் கொண்டிருந்தால், கணினி நிலையானது.

இதனால் லாப்லேஸ் உருமாற்றம் என்பது சுற்றுகளை பகுப்பாய்வு செய்வதில் ஒரு முக்கியமான கருவியாகும். ஒரு ஸ்டெதாஸ்கோப் என்பது டாக்டருக்கு லாப்லேஸ் உருமாற்றம் என்பது பொறியாளரைக் கட்டுப்படுத்துவதாகும். லாப்லேஸ் உருமாற்றம் என நீங்கள் என்ன கருதுகிறீர்கள்? அவை உங்களுக்கு எந்த வகையில் உதவியாக இருந்தன?